Prohlížení státnicových textů

Matice a lineární zobrazení, resp. změny souřadných soustav

Definice

Nechť V, W jsou vektorové prostory nad stejným tělesem (R nebo C). Zobrazení $ f: V \rightarrow W$ nazýváme lineárním zobrazením jestliže

  1. $ f(x+y)=f(x)+f(y)$ pro každé $ x,y \in V$
  2. $ f(\alpha\cdot x)=\alpha\cdot f(x)$ pro každé $ x \in V$ a každý skalár $ \alpha$.


Definice (Souřadnicový vektor)

Nechť $ \mathbb{B}=(x_1,\dots,x_n)$ je báze V. Každý vektor $ x \in V$ lze potom vyjádřit právě jedním způsobem jako lineární kombinaci vektorů báze $ \mathbb{B}$. Potom aritmetický vektor

$\displaystyle [x]_{\mathbb{B}} = \left( \begin{array}{l}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right)$

nazýváme souřadnicovým vektorem vektoru x v bázi $ \mathbb{B}$ (a $ n=\mathrm{dim}V$ a souřadnicový vektor závisí na výběru báze).


Definice (Matice lineárního zobrazení)

Nechť $ \mathbb{B}=\{x_1, \dots, x_n\}$ je báze vektorového prostoru $ V$, $ \mathbb{B}'=\{y_1, \dots, y_m\}$ je báze vekt. prostrou $ W$ a nechť $ f: V \rightarrow W$ je lineární zobrazení. Potom pro každé $ j=1, \dots, n$ lze $ f(x_j)$ zapsat právě jedním způsobem ve tvaru

$\displaystyle f(x_j) = \sum_{i = 1}^{m} \alpha_{ij} y_j.$

Matice $ A=(\alpha_{ij}) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ se nazývá maticí lineárního zobrazení $ f$ vzhledem k bázím $ \mathbb{B}, \mathbb{B}'$ a značí se

$\displaystyle [f]_{\mathbb{B}\mathbb{B}'}.$


Pozorování

$ [f]_{\mathbb{B}\mathbb{B}'}.$ je matice sestavená ze sloupců

$\displaystyle ([f(x_1)]_{\mathbb{B}'}, \dots, [f(x_n)]_{\mathbb{B}'}),$

které jsou souřadnicovými vektory vektorů $ f(x_1), \dots, f(x_n)$ v bázi $ \mathbb{B}'$.


Věta

Nechť $ \mathbb{B}$ je báze V, $ \mathbb{B}'$ je báze W, a nechť $ f: V \rightarrow W$ je lineární zobrazení. Potom pro každé $ x \in V$ platí

$\displaystyle [f(x)]_{\mathbb{B}'} = [f]_{\mathbb{B} \mathbb{B}'}.[x]_{\mathbb{B}},$

kde napravo stojí maticový součin.


Věta (Složené zobrazení a maticový součin)

Nechť $ f: U \rightarrow V$, $ g: V \rightarrow W$ jsou lineární zobrazení a nechť $ \mathbb{B}, \mathbb{B}', \mathbb{B}''$ jsou báze U, V, W. Potom platí

$\displaystyle [g \circ f]_{\mathbb{B} \mathbb{B}''}=[g]_{\mathbb{B}'\mathbb{B}''} [f]_{\mathbb{B}\mathbb{B}'}$

kde napravo stojí maticový součin.


Věta (Matice inversního zobrazení)

Je-li $ f: V \rightarrow W$ isomorfismus, potom inversní zobrazení $ f^{-1}: W \rightarrow V$ je rovněž isomorfismus a vzhledem k libovolným bázím $ \mathbb{B}, \mathbb{B}'$ prostorů V, W platí:

$\displaystyle [f^{-1}]_{\mathbb{B}' \mathbb{B}} = [f]^{-1}_{\mathbb{B} \mathbb{B}'}$


Věta (Změna souřadnic vektoru při změně báze)

Nechť jsou dány dvě báze $ \mathbb{B}, \mathbb{B}'$ vektorového prostoru $ V$. Potom pro každé $ x \in V$ platí:

$\displaystyle [x]_{\mathbb{B}'} = [\mathrm{id}_V]_{\mathbb{B} \mathbb{B}'}.[x]_{\mathbb{B}}$

Matice $ [\mathrm{id}_V]_{\mathbb{B} \mathbb{B}'}$ se nazývá maticí přechodu od báze $ \mathbb{B}$ k bázi $ \mathbb{B}'$.


Poznámka

Předchozí vzorec vyžaduje znalost hodnot vektorů staré báze $ \mathbb{B}$ v nové bází $ \mathbb{B}'$. Typická situace ale je, že máme jen starou bázi $ \mathbb{B}$ a pomocí ní vyjádříme novou bázi $ \mathbb{B}'$. V tom případě můžeme použít vzorec

$\displaystyle [x]_{\mathbb{B}'} = [\mathrm{id}_V]^{-1}_{\mathbb{B}' \mathbb{B}} [x]_{\mathbb{B}}$


Michal Tulacek 2008-08-15